Vais essayer de te répondre Ulash, mais j'espère que je vais pas dire trop de merde ^^
Après une rapide recherche, il semble que deux matrices semblables ont même spectre, même trace, mais c'est pas une CNS, donc tu peux pas partir de "même trace = semblable".
Je dirai qu'une piste serait d'essayer de trouver une 3ème matrice "simple" qui soit semblable aux deux que tu as, mais un peu bof si c'est quelconque. Tu es en dimension finie ?
Après, pour le coup de diagonaliser, si tu as diagonaliser tes deux matrices, il doit être plutôt aisé de voir si elles sont semblables non ? Fin, si elles ont la même tronche, à une ou deux permutation près.
Sinon, au vu de l'énoncé, je dirai que si tu montres que A et B sont semblables et qu'il faut ensuite montrer que A est diagonalisable, c'est que B l'est facilement non ?
Question 1)
Pour les matrices semblables, c'est simples. Quand on connaît les matrices A et B et qu'on veut savoir si elles sont semblables, il faut donc montrer qu'il existe une matrice de passage P telle que A = (P^-1)AP.
Et pour trouver P, il faut modifier cette relation:
A = (P^-1)AP si, et seulement si
PA = P(P^-1)AP si, et seulement si
PA = AP
Donc en posant par exemple P = (a b)
................................................ (c d)
Tu peux construire ton système d'équations à quatre inconnues pour trouver les valeurs de a, b, c et d.
Exemple: tu considères les matrices A et B suivantes:
A = (2 1)
..... (-2 0)
B = (-2 -2)
..... ( 5 4)
Je te laisse faire le calcul: tu vas trouver d = 0, et a = b = c, donc une infinité de matrices de passages P possibles. Par exemple, en posant a = b = c, tu peux avoir la matrice de passage:
P = (1 1)
..... (1 0)
Ca, c'est si on te demande de trouver des matrices de passage (si tu en trouves, c'est bon, tu as déjà prouvé que les matrices sont semblables). Mais si on te demande juste de montrer que deux matrices sont semblables ou non, il faut montrer que ces deux matrices représentent le même endomorphisme (à partir de deux bases différentes). Donc si tu as affaire à des matrices 3*3, tu peux tenter de trouver une matrice de passage, mais c'est la méthode de bourrin vu que ça te demanderait de résoudre un système de neuf équations à neuf inconnues (c'est faisable, mais c'est long et relou), donc il vaut mieux passer par la méthode de l'endomorphisme.
Autre méthode: si tu prouves que deux matrices n'ont pas le même rang, alors elles ne sont pas semblables (mais la réciproque n'est pas toujours vraie).
Question 2)
Pour ta seconde question consistant à montrer qu'une matrice est diagonalisable, il faut passer par le calcul des valeurs propres et montrer qu'il existe une base de vecteurs propres. Si tu le prouves, alors c'est bon, tu as montré que la matrice est diagonalisable.
Après si tu veux diagonaliser la matrice carrée A en une matrice diagonale D, tu dois trouver une matrice de passage telle que:
D = (P^-1)AP.
Si ta matrice A est une matrice 3*3, tu auras donc éventuellement une base e de trois vecteurs propres telle que e = (e1, e2, e3) ayant comme valeurs propres respectives lambda1, lambda2 et lambda3, si bien que Aek = lambdak * ek.
Pour trouver les trois valeurs propres lambdak, tu dois résoudre l'équation det(A-lambda*I) = 0, ou det est le déterminant et I la matrice identité 3*3, et de là tu en déduis les vecteurs propres.
Tu trouves alors ta matrice de passage P qui vaut P = (e1, e2, e3), puis tu en déduis P^-1 avec la relation PP^-1)I, et enfin tu trouves ta matrice diagonale D.
J'ai pas grand chose à rajouter à ce que dit Rudolf, comme tu es en dimension 3 des calculs sont possibles :)
Pour diagonaliser B, tu peux chercher ses vecteurs propres pour former la matrice de passage ;)
EDIT : Ah le fourbe, il a édité pendant que je faisais les petits calculs de vecteurs propres :p Par contre, je trouve que B est pas diagonalisable dans n'importe quel cas, selon les valeurs des coeffs elle peut ne pas l'être.
J'ai édité parce que la mise en page finale du post est complètement différente de ce que j'écrivais. Du coup, mes "belles" matrices ont été complètement saccagées avec les couples de parenthèses bien décalées les unes par rapport aux autres, ce qui m'a obligé de rajouter plein de points avant chaque deuxième parenthèse afin que les deux parenthèses soient à peu près alignées sur la même colonne. C'était laborieux! XD
Ah Mario Kart ok ! Je comprend ton énigme xD xD.
J'ignorais que t'y jouais Yess. Moi en semaine, si il y a des partants, je m'y remettrais volontiers ^^ !
Je sais qu'il y a des tournois organisés le weekend mais moi je suis jamais là.
Oui de oui Video ! Je serais bien content de jouer avec toi !
Mon identifiant, je crois que c'est YasHal et mon pseudo c'est YasTunisia ! Hahaha !
Bien sûr c'est comme tu veux ;) !
Vais essayer de te répondre Ulash, mais j'espère que je vais pas dire trop de merde ^^
Après une rapide recherche, il semble que deux matrices semblables ont même spectre, même trace, mais c'est pas une CNS, donc tu peux pas partir de "même trace = semblable".
Je dirai qu'une piste serait d'essayer de trouver une 3ème matrice "simple" qui soit semblable aux deux que tu as, mais un peu bof si c'est quelconque. Tu es en dimension finie ?
Après, pour le coup de diagonaliser, si tu as diagonaliser tes deux matrices, il doit être plutôt aisé de voir si elles sont semblables non ? Fin, si elles ont la même tronche, à une ou deux permutation près.
Sinon, au vu de l'énoncé, je dirai que si tu montres que A et B sont semblables et qu'il faut ensuite montrer que A est diagonalisable, c'est que B l'est facilement non ?
Après HooperVania, mon nouveau projet !
B est sous la forme ( a 0 0
0 b c
0 0 d)
Après je sais pas comment on peut diagonaliser B, sans indication...
Je préfère prendre la pilule bleue moi en tout cas, merci Morpheus ! :p
Neo n'aurait jamais dû prendre la rouge...
Question 1)
Pour les matrices semblables, c'est simples. Quand on connaît les matrices A et B et qu'on veut savoir si elles sont semblables, il faut donc montrer qu'il existe une matrice de passage P telle que A = (P^-1)AP.
Et pour trouver P, il faut modifier cette relation:
A = (P^-1)AP si, et seulement si
PA = P(P^-1)AP si, et seulement si
PA = AP
Donc en posant par exemple P = (a b)
................................................ (c d)
Tu peux construire ton système d'équations à quatre inconnues pour trouver les valeurs de a, b, c et d.
Exemple: tu considères les matrices A et B suivantes:
A = (2 1)
..... (-2 0)
B = (-2 -2)
..... ( 5 4)
Je te laisse faire le calcul: tu vas trouver d = 0, et a = b = c, donc une infinité de matrices de passages P possibles. Par exemple, en posant a = b = c, tu peux avoir la matrice de passage:
P = (1 1)
..... (1 0)
Ca, c'est si on te demande de trouver des matrices de passage (si tu en trouves, c'est bon, tu as déjà prouvé que les matrices sont semblables). Mais si on te demande juste de montrer que deux matrices sont semblables ou non, il faut montrer que ces deux matrices représentent le même endomorphisme (à partir de deux bases différentes). Donc si tu as affaire à des matrices 3*3, tu peux tenter de trouver une matrice de passage, mais c'est la méthode de bourrin vu que ça te demanderait de résoudre un système de neuf équations à neuf inconnues (c'est faisable, mais c'est long et relou), donc il vaut mieux passer par la méthode de l'endomorphisme.
Autre méthode: si tu prouves que deux matrices n'ont pas le même rang, alors elles ne sont pas semblables (mais la réciproque n'est pas toujours vraie).
Question 2)
Pour ta seconde question consistant à montrer qu'une matrice est diagonalisable, il faut passer par le calcul des valeurs propres et montrer qu'il existe une base de vecteurs propres. Si tu le prouves, alors c'est bon, tu as montré que la matrice est diagonalisable.
Après si tu veux diagonaliser la matrice carrée A en une matrice diagonale D, tu dois trouver une matrice de passage telle que:
D = (P^-1)AP.
Si ta matrice A est une matrice 3*3, tu auras donc éventuellement une base e de trois vecteurs propres telle que e = (e1, e2, e3) ayant comme valeurs propres respectives lambda1, lambda2 et lambda3, si bien que Aek = lambdak * ek.
Pour trouver les trois valeurs propres lambdak, tu dois résoudre l'équation det(A-lambda*I) = 0, ou det est le déterminant et I la matrice identité 3*3, et de là tu en déduis les vecteurs propres.
Tu trouves alors ta matrice de passage P qui vaut P = (e1, e2, e3), puis tu en déduis P^-1 avec la relation PP^-1)I, et enfin tu trouves ta matrice diagonale D.
Voilà en gros ce que j'avais à dire à ce sujet.
J'ai pas grand chose à rajouter à ce que dit Rudolf, comme tu es en dimension 3 des calculs sont possibles :)
Pour diagonaliser B, tu peux chercher ses vecteurs propres pour former la matrice de passage ;)
EDIT : Ah le fourbe, il a édité pendant que je faisais les petits calculs de vecteurs propres :p Par contre, je trouve que B est pas diagonalisable dans n'importe quel cas, selon les valeurs des coeffs elle peut ne pas l'être.
Après HooperVania, mon nouveau projet !
J'ai édité parce que la mise en page finale du post est complètement différente de ce que j'écrivais. Du coup, mes "belles" matrices ont été complètement saccagées avec les couples de parenthèses bien décalées les unes par rapport aux autres, ce qui m'a obligé de rajouter plein de points avant chaque deuxième parenthèse afin que les deux parenthèses soient à peu près alignées sur la même colonne. C'était laborieux! XD
Tu aurais pu utiliser les balises "code" ^^
P = (1 2) (3 4)Ou alors, tu fais le chaud et tu tapes du LaTeX, tu fais un impr. écran et tu mets le résultat sur le forum :p
Après HooperVania, mon nouveau projet !
Tain les gars, je m'en sors très bien en maths et pourtant vos posts, c'est du chinois là ! ^^
Je suis encore trop jeune pour comprendre :'(